Vamos agora encontrar as soluções da Equação de Schrondinger para o caso do oscilador harmônico quântico utilizando os métodos analíticos.
Considere para o sistema em que $V(x)=m\omega^2x^2/2$, de forma que a equação de Schrodinger independente do tempo se torna;
$\large{\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2\psi=E\psi}$
Ou ainda, rescrevendo da forma:
$\large{\frac{d^2\psi}{dx^2}-\frac{m^2\omega^2}{\hbar^2}x^2\psi+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi=0}$